Ať už načasujete, abyste si ověřili, jak rychle můžete naplnit kávovar, nebo jednoduše ráno počítat kroky k autobusové zastávce, je zde něco o monotónnosti každodenního života, díky kterému se snažíme z něj udělat hru. Obyvatelé pruského města Konigsberg v osmnáctém století (nyní, jak víte, toto je Kaliningrad), byli stejní jako my všichni. Právě hra, kterou hráli se sedmi mosty ve svém městě, jednoho dne vyvolala zájem jednoho z největších matematiků v historii člověka.
Konigsberg byl postaven na březích řeky Pregel (Pregolya), která rozdělila město na čtyři samostatné obytné oblasti. Lidé se pohybovali z jedné oblasti do druhé přes sedm různých mostů. Podle pověsti bylo populární zábavou během nedělních procházek pokusit se překročit celé město, aby každý most překročil jen jednou. Nikdo nepřišel na to, jak to udělat, ale to neznamená, že problém nemá řešení. Museli prostě jít ke správnému odborníkovi, aby ho poznali.
V roce 1735 starosta města Danzig (nyní polský Gdaňsk), ležící 120 km západně od Konigsbergu, Karl Leonard Gottlieb Ehler, napsal Leonardovi Eulerovi dopis, ve kterém požádal o pomoc při řešení tohoto problému jménem místního profesora matematiky jménem Heinrich. Kuehn. I v té době byl Euler slavný a velmi úspěšný matematik - svou první knihu vydal do roku po tomto dopise a za celý svůj život napsal více než 500 knih a článků.
Není proto překvapivé, že si Euler zpočátku myslel, že řešení tohoto problému je pod jeho důstojností, a napsal jako odpověď: žádost o matematika a nikoho jiného, protože rozhodnutí je založeno pouze na zdravém rozumu a nezávisí na žádném ze známých matematických principů. ““
Nakonec se však Ehlerovi a Kühnovi podařilo Eulera přesvědčit a uvědomil si, že se jedná o zcela nový typ matematiky - „geometrii pozic“, dnes známou jako topologie. V topologii nezáleží na přesném tvaru nebo umístění objektu. Existuje dokonce starý vtip, že topolog nedokáže rozeznat rozdíl mezi koblihou a šálkem kávy, protože obě položky mají přesně jednu díru. Do té doby se o této zcela nové oblasti matematiky psalo jen, ale nikdo zatím nechápal, jaké problémy dokáže vyřešit. Sedm mostů Konigsberg bylo vynikajícím experimentálním potvrzením nové teorie, protože problém nevyžadoval žádná měření ani přesné výpočty. Komplexní mapu města můžete proměnit v jednoduchý a srozumitelný graf (diagram), aniž byste ztratili jakékoli důležité informace.
Zatímco jeden by mohl být v pokušení vyřešit tento problém zmapováním všech možných tras městem, Euler si okamžitě uvědomil, že tato strategie bude trvat příliš dlouho a nebude pracovat s jinými podobnými problémy (co kdyby existovaly, řekněme, dvanáct) mosty?). Místo toho se rozhodl na chvíli odpoutat od mostů a označil zemi písmeny A, B, C a D. Takže nyní mohl popsat cestu přes most z oblasti A do oblasti B jako AB a cestu z oblasti A do oblasti B D jako ABD. Zde je důležité poznamenat, že počet písmen v popisu trasy bude vždy o jeden větší než počet překřížených mostů. Trasa AB tedy protíná jeden most a trasa ABD protíná dva mosty atd. Euler si uvědomil, že protože v Konigsbergu je sedm mostů, aby je všechny překročily,trasa musí obsahovat osm písmen, což znamená, že řešení problému bude vyžadovat přesně osm písmen.
Pak přišel s obecnějším pravidlem s ještě jednodušším schématem. Pokud jste měli pouze dva úseky nad zemí, A a B, a překročili jste most jednou, pak by část A mohla být tam, kde cesta začala nebo kde skončila, ale v sekci A byste byli jen jednou. Pokud jste jednou překročili mosty a, b a c, byli byste v sekci A přesně dvakrát. To vedlo k praktickému pravidlu: pokud máte sudý počet mostů vedoucích k jednomu kusu země, musíte k tomuto číslu přidat jeden a pak vydělit součtem dvěma, abyste zjistili, kolikrát by měl být tento úsek během vaší cesty použit. (v tomto příkladu přidáme jeden k počtu můstků, tj. ke 3 dostaneme čtyři a dělením čtyř na dva dostaneme dva,to znamená, že je přesně dvakrát během cesty překročena část A).
Propagační video:
Tento výsledek přivedl Eulera zpět k původnímu problému. Existuje pět mostů, které vedou do sekce A, takže osmimístné řešení, které hledá, bude muset být překročeno třikrát. Sekce B, C a D mají dva mosty, které k nim vedou, takže každý musí projít dvakrát. Ale 3 + 2 + 2 + 2 je 9, ne 8, i když podle stavu musíte projít pouze 8 sekcí a překročit 7 mostů. To znamená, že není možné projít celým městem Königsberg pomocí každého mostu přesně jednou. Jinými slovy, v tomto případě problém nemá řešení.
Nicméně, jako každý pravý matematik, Euler se tam nezastavil. Pokračoval v práci a vytvořil obecnější pravidlo pro jiná města s jiným počtem mostů. Pokud má město lichý počet mostů, pak existuje jednoduchý způsob, jak zjistit, zda můžete takovou cestu udělat, nebo ne: je-li součet počtu výskytů každého dopisu označujícího kus země o jeden větší než počet mostů (jako například v osmimístném řešení, o uvedená výše), taková cesta je možná. Pokud je součet větší než toto číslo, není to možné.
A co sudý počet mostů? V tomto případě vše záleží na tom, kde začít. Pokud začnete v sekci A a cestujete přes dva mosty, objeví se ve vašem řešení dvakrát A. Pokud začnete na druhé straně, objeví se A pouze jednou. Jsou-li čtyři mosty, objeví se A třikrát, pokud byl tento úsek výchozím bodem, nebo dvakrát, pokud nebyl. Obecně to znamená, že pokud cesta nezačne od úseku A, musí být překročena dvakrát tolikrát, kolik je počet mostů (čtyři děleny dvěma dává dva). Pokud cesta začíná z bodu A, musí se protnout ještě jednou.
Génie Eulerova řešení nespočívá ani v odpovědi, ale v metodě, kterou použil. Byl to jeden z prvních případů teorie grafů, také známý jako teorie sítí, velmi vyhledávané pole matematiky v dnešním světě naplněné dopravními, sociálními a elektronickými sítěmi. Pokud jde o Königsberg, město skončilo dalším mostem, díky kterému bylo Eulerovo rozhodnutí kontroverzní, a poté britské síly zničily většinu města během druhé světové války. Dnes má město i řeka nová jména, ale starý problém žije ve zcela novém oboru matematiky.
Igor Abramov